sábado, 8 de octubre de 2016

Los orígenes de π y algunas consecuencias

¿Habrá alguien en su sano juicio capaz de imaginar un “polígono” regular de únicamente dos lados, cada uno de longitud L? Sería algo así como una recta vuelta a trazar sobre sí misma, ¿no es cierto? ¿Y cuál sería la “diagonal” al “interior” de ese polígono? Pues no sería otra cosa más que la misma recta de longitud L dibujada por tercera vez sobre las otras dos.

De lo anterior es claro que la relación del “perímetro” de nuestro polígono a la diagonal sería 2L / L = 2, es decir, existe una relación constante del perímetro a la diagonal, independientemente de la longitud de nuestra recta.

Lo que ya no resulta tan obvio, pero sí igualmente trivial, es descubrir una relación parecida entre el perímetro de un polígono regular de cuatro lados (un cuadrado), de longitud L cada uno, y la diagonal trazada aquí sí en su interior. Dicha relación vendría dada por 4L / √(L**2 + L**2) = 4L / √2L**2 = 4 / √2 = 2√2, si Pitágoras no miente: nunca mejor aplicada la expresión. Como se ve, aquí también se preserva una relación constante entre el perímetro y la diagonal, independientemente del tamaño de nuestro cuadrado o tetrágono. ¡Sorprendente!, ¿no? Por lo menos yo sí me sorprendí y emocioné mucho cuando lo descubrí.

Tal fue mi emoción, que me planteé que lo mismo debería ser cierto para cualquier polígono regular con un número par de lados y la diagonal trazada en su interior entre dos vértices diametralmente opuestos. Fue así como llegué a la siguiente generalización: para todo polígono regular de 2n caras, donde n es un número entero positivo (1, 2, 3,...), existe una relación constante entre su perímetro y su diagonal y nos viene dada por 2*n*cos[90(n-1)/n]. En el caso extremo de un polígono regular de “incontables” lados (n tiende a infinito) dicho polígono se convierte en un círculo y, obviamente, nuestra expresión tiende a π (3.14159...). ¡Maravilloso!

No fue muy difícil llegar a esta constante y demostrarla mediante trigonometría elemental. Desgraciadamente, también descubrí que Arquímedes se me había adelantado unas cuantas semanas en la determinación de π utilizando, igualmente, fórmulas trigonométricas. Fue así como no aspire más al Nobel de matemáticas, que ni existe, ni siquiera a la medalla Fields, otorgada por descubrimientos sobresalientes en matemáticas a individuos no mayores de 40 años, pues yo supero por más de veinte ese límite. Ni modo.

En particular, mi fórmula es cierta para n=2, es decir, para el cuadrado, ya que 2*2*cos[90(2-1)/2] = 2*2*cos(45) = 2*2*√2/2 = 2√2. Y para nuestro absurdo “polígono” de sólo dos lados (n=1, una recta en realidad) aplica la misma fórmula, y así 2*1*cos[90(1-1)/1] = 2*1*cos(0) = 2*1*1 = 2. Ambos casos los dedujimos esquemáticamente al principio de este escrito.

De estas divagaciones se derivan hechos igualmente sorprendentes. Si, como ya vimos, en el caso del círculo C / d = π, donde C es el perímetro del círculo y d su diagonal, entonces dicho perímetro o circunferencia C es igual a πd o, lo que es lo mismo, 2πr, pues la diagonal corresponde a dos veces el radio. Pero qué tal si cortáramos esa circunferencia en uno de sus puntos y extendiéramos la línea resultante en un plano: obtendríamos una base de longitud 2πr y un enhiesto radio a la mitad de ella. Entonces, por nuestra conocidísima fórmula de primaria “base por altura sobre dos”, obtendríamos 2πr*r / 2 = πr**2, ¡la fórmula del área de un círculo! No paro de emocionarme.

Pero si, además, r fuera igual a 1, esto es, si tuviéramos un círculo unitario, entonces el área de éste sería igual a π, independientemente de su tamaño, pudiendo π referirse a milímetros, centímetros, metros o kilómetros cuadrados. Y de todo esto se derivó un problema que mantuvo absorta a la humanidad por siglos. Bueno, a algunos todavía los mantiene: hallar la cuadratura del círculo, es decir, encontrar un cuadrado cuya área sea igual a π.

Si usted quiere seguir intentándolo, no lo distraigo más, pero le advierto que ya el matemático alemán Ferdinand von Lindemann probó en 1882 la imposibilidad de hacerlo.

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