sábado, 30 de noviembre de 2013

La magia de la realidad

Más que el realismo mágico, en donde se representa lo irreal como parte de lo cotidiano, a mí me interesa la magia de la realidad, en donde ésta se manifiesta de forma inverosímil en hechos que parecen mágicos.

Esto viene a cuento por lo siguiente. Supongamos que a un recién egresado de la universidad se le somete a exámenes psicométricos en la empresa donde desea entrar a trabajar, y uno de los planteamientos en dichas pruebas es que determine el número que sigue en la secuencia 953, 967, 971, 977, 983, 991,… Es claro que está secuencia no sigue ninguna patrón obvio ni aparente, y sólo una mente matemática avezada podría determinar, después de algunos cálculos cansinos y laboriosos, que se trata de números primos, es decir, aquellos que son únicamente divisibles por sí mismos y por la unidad.

Por medio de cálculos igualmente laboriosos llegaría a determinar que el siguiente número dentro de dicha lista es 997. Cualquiera otro, abandonaría el intento y dejaría sin responder el punto o bien se arriesgaría a adivinar con altas probabilidades de “atinarle”.

Desgraciada o afortunadamente, no existe una fórmula para el cálculo de los números primos, o por lo menos nadie la ha encontrado hasta ahora, esto es, los primos son impredecibles, no digo que aleatorios porque a final de cuentas los primos ahí están, no surgen de manera espontánea, aunque así parezca.

Por lo anterior, no deja de ser asombroso que grandes mentes matemáticas (Gauss, Chebyshev) hayan arriesgado una aproximación de la cantidad de primos –que, por otro lado, sabemos infinitos- menores a un número x cualquiera. Esta aproximación es x/log(x), y dos brillantes matemáticos, el belga Charles de la Vallée Poussin y el francés Jacques Hadamard, probaron en 1896,  cada uno por su parte, que esto es cierto para x “suficientemente” grande. A ello se le conoce en matemáticas como el Teorema de los Números Primos (así, con mayúsculas).

Pero quien ya antes había hecho una aportación mayor e inmensa en este campo, pues no sólo dio un estimado de la cantidad de primos menores a x, sino ¡una fórmula exacta para su cálculo!, fue el matemático alemán Bernhard Riemann. Así lo hizo durante su discurso de aceptación como miembro de la Academia de Ciencias de Berlín en 1859.

Aquí radica mi embeleso por la magia de la realidad: cómo es posible que algo que surge de manera tan “caótica” dentro de la infinitud de la línea de los números reales pueda ser calculado, en su magnitud, de manera tan exacta. Quizá detrás de este aparente “caos” se esconda un orden que permita explicar muchas de las cosas que ahora nos parecen insondables.

Por cierto, la fórmula de Riemann involucra las raíces de una famosa función dentro de las matemáticas, la función zeta, que Riemann se atrevió a decir, sin probar, pues no era el objeto de su trabajo, que se encontraban, todas, sobre una misma línea del plano complejo. Desde entonces se conoce a tal aseveración como la Hipótesis de Riemann, y el Instituto Clay de Matemáticas en Estados Unidos (CMI, por sus siglas en inglés) la incluye, junto con otros, dentro de los Problemas del Milenio y ofrece un millón de dólares por la solución de cada uno de ellos. ¡Nadie ha podido probar la hipótesis en 154 años, ni el mismo Riemann, que le sobrevivió siete!

jueves, 18 de julio de 2013

La "inutilidad" de las matemáticas

Un aspecto fascinante de las matemáticas es la abstracción que en éstas se hace del concepto de infinito. Por ejemplo, todo mundo “siente” intuitivamente que la cantidad de números primos, es decir, aquellos que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad (3, 5, 7,…) ha de ser infinita, pero de aquí a concluirlo con toda certeza media una gran mente matemática, como la de Euclides, por ejemplo, quien hace más de dos mil años demostró esto con una sencillez rayana en lo sublime.

Se dijo Euclides: si la cantidad de primos fuera finita, multipliquémoslos a todos ellos entre sí, sumémosle 1 al producto y llamemos x al resultado. Obviamente, x no va a ser divisible por ninguno de los primos conocidos, pues para todos se tendría un residuo de 1. Pero por otro “principio” ya conocido en aquel entonces, todo número se puede descomponer de manera unívoca en sus factores primos (teorema fundamental de la aritmética), en particular, x, que ya vimos que no tiene a ninguno de los primos conocidos hasta ahora como factor, de donde se sigue que un primo necesariamente mayor a cualquiera de éstos es factor de x. Y por lo tanto la cantidad de primos es infinita, pues el proceso se puede repetir indefinidamente.

Si no fuera más que por lo anterior, habría que reconocer en esta belleza la utilidad de las matemáticas, como en cualquiera otra de las bellas artes.

Todo esto viene a colación por lo que alguna vez escribiera el eminente matemático inglés G. H. Hardy: “Nunca he hecho nada ‘útil’. Ninguno de mis descubrimientos ha hecho ni hará, directa o indirectamente, para bien o para mal, la más mínima diferencia para utilidad del mundo. He ayudado a formar a otros matemáticos, pero matemáticos del mismo tipo que yo, y su trabajo ha sido, hasta donde yo los he ayudado, tan inútil como el mío. Desde un punto de vista práctico, el valor de mi vida como matemático es nulo; y fuera de las matemáticas es trivial de cualquier forma. Sólo tengo una oportunidad de escapar de un veredicto de absoluta trivialidad, ser juzgado por haber creado algo de valor en el proceso de creación. Y es innegable que algo he creado: la duda es acerca de su valor.”

Esta conmovedora historia consta en el libro del propio Hardy A mathematician’s apology (Cambridge University Press, Canto edition, 1992).

Dice Hardy que a veces se piensa que los matemáticos puros (en oposición a los aplicados) se glorían de la inutilidad de su trabajo y hacen gala de que éste no tiene ninguna aplicación práctica, y sugiere que fue Gauss quien dijo que si las matemáticas puras son la reina de las ciencias por su inutilidad, entonces la teoría de números es la reina de las matemáticas por su suprema inutilidad. Huelga decir que Hardy dedicó enteramente su vida a dicha teoría, en tanto que todos saben que Gauss incursionó brillantemente en muchas otras áreas.

Señala Hardy que no le consta que Gauss haya dicho tal, pero que duda que si alguna aplicación práctica y honorable pudiera encontrase para la teoría de números Gauss o cualquier otro matemático hubiera sido tan tonto como para no regocijarse por ello.

Una de las causas de la depresión de Hardy era el uso bélico que se hacía de las matemáticas aplicadas, y la prueba fehaciente fueron las dos guerras que le tocó sobrevivir (nació en 1877 y murió en 1947) y en las que algunos de sus colegas tuvieron que colaborar. Pero la verdadera causa fue la declinación de sus facultades matemáticas (se sabe que un matemático da lo mejor de sí mucho antes de los 50), una trombosis coronaria en 1939 que lo obligó incluso a dejar de ejercitarse físicamente y la muerte trágica de uno de sus más cercanos amigos. Esto, junto con la visión sombría que tuvo de su profesión como matemático puro, lo llevaron a escribir esa disculpa en 1940, a la edad de 63 años.

C.P. Snow, célebre químico y novelista inglés, autor del prólogo del libro de Hardy, dice: “Tres o cuatro años antes su interés en todo era tan desbordante que algunas veces nos fatigaba a todos. ‘Nadie debería estar aburrido’, era uno de sus axiomas. ‘Uno puede estar horrorizado o disgustado, pero no puede estar aburrido.’ Y ahora él estaba así a menudo, simplemente aburrido.”

La depresión de Hardy llegó a ser tan grande que intentó suicidarse con una sobredosis de barbitúricos unos meses antes de morir, intento del que nunca se recuperó cabalmente, y falleció la mañana del 1 de diciembre de 1947.

Curiosamente, las palabras de Hardy sobre Gauss resultaron premonitorias, pues como apunta John Derbyshire (Prime Obsession, Joseph Henry Press, 2003): “A finales de la década de los 70, los números primos empezaron a tener mucha importancia en el diseño de métodos de encriptación para uso civil y militar… Resultados teóricos, incluidos algunos de Hardy, fueron esenciales en este desarrollo, que, entre otras cosas, permiten utilizar la tarjeta de crédito para obtener bienes a través de Internet.”