Basta de coronavirus, venga la magia

Existen unas herramientas matemáticas llamadas matrices u operadores, que no son otra cosa que arreglos numéricos dispuestos  en ‘m’ renglones y ‘n’ columnas. Se habla, así, de una matriz de dimensión ‘mxn’. Dentro de éstas, hay una de tipo especial llamada matriz hermitiana, llamada así en honor de su creador Charles Hermite, celebérrimo matemático francés. Su particularidad es que consta únicamente de números complejos, siendo los de la parte inferior izquierda, debajo de la diagonal principal de la matriz, los conjugados de los de la parte superior derecha, arriba de dicha diagonal. Esta diagonal está formada sólo por números reales, que son un subconjunto de los complejos y conjugados de sí mismos.

Ya sé que después de esto muchos preferirían morir de coronavirus, pero la suprema belleza con la que concluiré este escrito, sin haber siquiera utilizado un solo número ni mucho menos algún símbolo raro, justificará el “sacrificio”, aun de los más escépticos. Matrices enormes de este tipo (hermitianas) sirven para modelar el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos a nivel cuántico.

Por otro lado, asociado a cualquier matriz -hermitiana o no- existe un polinomio característico. En particular, las raíces del polinomio asociado con el sistema dinámico antes mencionado proveen un excelente modelo para los niveles de energía observados en los experimentos cuánticos. El espaciamiento que existe entre estas raíces no sigue un patrón aleatorio. Este fenómeno es conocido como “repulsión”, es decir, niveles de energía tratando de apartarse lo más posible el uno del otro.

Pues bien, existe una función matemática en análisis complejo, llamada función zeta, cuyo padre es otro aún más insigne matemático, pero alemán, Bernhard Riemann, que la utilizó para calcular la cantidad de primos menores a una ‘x’ dada, pues el número de raíces no triviales de esa función es el componente principal de la fórmula que él proporcionó para dicho cálculo. Les recuerdo que los primos son los números divisibles solamente por sí mismos y por la unidad.

Pero lo verdaderamente maravilloso –mágico, pues- es que ni el espaciamiento de las raíces de esta función ni el de las del polinomio de nuestro experimento parecen aleatorios, sino más bien son muy parecidos entre ellos, en particular, ¡ambos muestran el mismo efecto de repulsión! Tanto así que dieron origen a la Ley Montgomery-Odlyzko: “La distribución de espacios entre las raíces no triviales de la función zeta de Riemann es estadísticamente idéntica a la distribución de espacios entre las raíces del polinomio característico de una matriz hermitiana.”. Ley en el sentido físico del término, no en el matemático. Es decir, es un hecho establecido empíricamente, no un principio matemático.

Cuando me topo con fenómenos de este tipo, hasta me da por creer en Dios (ahora sí, con mayúscula, no como la semana pasada).

En esta época de reclusión me dio por leer por ¡tercera vez! el extraordinario libro Prime Obsession, de John Derbyshire (Joseph Henry Press, 2003), de donde tomé todas las ideas anteriores. Como sabiamente concluye el autor esa parte de su libro: “¿Qué diablos tiene que ver la distribución de números primos con el comportamiento de partículas subatómicas?”.

Muy seguramente algo tendrá que ver y me dispongo a averiguarlo, pero mientras tanto, ya les receté un enriquecedor y motivante artículo de matemáticas sin disparar un solo número, y me siento muy satisfecho y orgulloso por ello.