El genial Gauss

Hace muchos años escribí en estas mismas páginas un artículo en el que citaba al eminente matemático inglés G. H. Hardy, quien sugería que fue el enorme Johann Carl Friedrich Gauss el que dijo que si las matemáticas puras son la reina de las ciencias por su inutilidad, entonces la teoría de números es la reina de las matemáticas por su suprema inutilidad (http://blograulgutierrezym.blogspot.com/2013/07/la-inutilidad-de-las-matematicas_18.html).

Cuentan que cuando Gauss era un estudiante de no más de nueve años de edad, su maestro de aritmética, harto del barullo que los alumnos traían en el salón de clases, les ordenó sacar sus cuadernos y en una hoja calcular la suma (S) de los primeros cien números naturales, es decir S = 1 + 2 + 3 +… + 99 + 100. Con ello pensó que mantendría ocupados a los niños la hora completa de lección.

Para su sorpresa, Friedrich necesitó de sólo unos pocos minutos para emerger con la respuesta, pero no únicamente eso. Me explico.

El niño vio que S = 1 + 2 + 3 +… + 99 + 100 es lo mismo que S = 100 + 99 + 98 +… + 2 +  1, de donde concluyó que 2S = 101 + 101 + 101 +… 101 + 101, sumando miembro a miembro, es decir 100 veces 101, o escrito de otra forma 2S = 100 x (100 + 1), esto es, S = 10100 / 2 = 5050.

¡Genial! Aunque su razonamiento no era original, pues ya antes en la Antigüedad alguien había arribado al mismo resultado, pero que un chiquillo de esa edad lo hiciera, presagiaba un genio de grandes proporciones, como de hecho ocurrió.

Pero ¿por qué digo que no exclusivamente llegó Gauss a la simpleza de que los primeros cien números naturales suman 5050? Porque su fórmula ¡es de aplicación general! O lo que es lo mismo, la suma S de los primeros ‘n’ números naturales es igual n x (n + 1) / 2.

Lo anterior se puede probar por el método de inducción matemática, en el que la fórmula se prueba para 1, que obviamente es cierta, pues S = 1 x (1 + 1) / 2 = 1; se supone cierta para ‘n’, y de aquí se prueba para n + 1:

n x (n + 1) / 2 + (n + 1) = {n x (n + 1) + 2(n + 1)} / 2 = (n +1) x (n + 2) / 2,

que demuestra nuestra aseveración. De aquí el nombre de inducción, porque al ser válida para 1 se sigue para ‘n’ de cualquier “tamaño”, valga la expresión.

Pues bien, esta maravilla la consiguió nuestro niño Gauss sin tanta parafernalia.