El infinito al alcance

Cualquier estudiante de primaria sabe lo que es un número primo, es decir, aquel que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Lo que no resulta ya tan sencillo es determinar cuántos de estos números existen dentro de los números naturales (1, 2, 3…, n). Vamos, todo mundo sabe que hay infinitos números pares (2n) y nones (2n + 1), ¿pero primos?

Es natural pensar que debiera existir también una infinidad de estos extraños entes, pero cómo concluirlo tan “serenamente” como con los pares y nones. Supongamos, por ejemplo, que existieran únicamente los números primos 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Si multiplicamos éstos entre sí y le sumamos 1 al producto obtenemos 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30,031.

A simple vista no se puede determinar si el número resultante de estas operaciones es primo o no, pero por el teorema fundamental de la aritmética éste debiera poder descomponerse en sus factores primos. Lo sorprendente es que ninguno de éstos puede ser alguno de los apuntados, pues la división por cualquiera de ellos deja un residuo de 1, esto es, 30,031/2 = 15,015 y residuo 1, similarmente, 30,031/3 = 10,010 y residuo 1. En fin, 30,031/ 13 = 2,310 y residuo 1. Esto no es posible ya que los factores primos debieran dividir exactamente a 30,031 sin dejar residuos.

Por medio de algoritmos matemáticos se puede determinar fácilmente que 30,031 es el producto de los números primos 59 y 509. Como se ve, fue posible descubrir un número primo mayor a todos los señalados al principio de este escrito suponiendo que sólo existía un número finito de ellos. Es decir, esto demuestra fehacientemente que la cantidad de números primos es infinita.

Lo más sorprendente de todo esto es que fue Euclides quien, haciendo uso de esta técnica, probó dicha infinitud ¡hace más de 2,200 años!

Esta es la forma en que los matemáticos hacen la abstracción del infinito y lo ponen al alcance de la mano de los mortales. Maravilloso, ¿no es cierto?