Es claro entonces que el añadir 1 al
producto n! hace que la división de
esta expresión por cualquiera de los primeros n números naturales arroje un residuo precisamente de 1, es decir,
ninguno es factor de n! + 1, lo
cual en particular es cierto para los
primeros p números primos menores o
iguales a n.
Pero, por otro lado, como nos enseñaron
en la escuela primaria y como establece el teorema fundamental de la aritmética,
todo entero positivo se puede descomponer de manera unívoca en sus factores
primos, y como ninguno de los primeros p
menores o iguales a n lo es de la
expresión n! + 1, necesariamente, por
dicho teorema, tiene que existir un primo mayor a todos ellos que sí lo sea o n! + 1 mismo ser primo y su factor único.
Y este proceso lo podríamos repetir indefinidamente para cualquier número
natural m mayor que n, de donde se sigue irrefutablemente
que la cantidad de números primos es infinita, como lo es, de manera obvia para
todo mundo, la de enteros positivos.
Así es, n! + 1 es la bella e incontrovertible prueba de que el número de
primos es infinito, pero, además, la demostración es constructiva. Veamos si
no: 3! + 1 = 7 no es divisible por 3 ni por 2, pues ambos dejan un residuo de
1, pero 7 es primo y factor de sí mismo; 4! + 1 = 25 no es divisible por 4 ni
por 3 ni por 2, que también producen un residuo de 1, pero existe un primo
mayor que 2 y 3 que sí lo es: 5, que elevado al cuadrado es 25; 5! + 1 = 121 no
es divisible por 5 ni por 4 ni por 3 ni por 2, por el consabido residuo de 1,
pero existe un primo mayor que 2, 3 y 5 que sí lo es: 11, que elevado a
cuadrado es 121.
¡Y así hasta el infinito… y más allá!, Buzz dixit.
En un artículo anterior, La “inutilidad” de las matemáticas, hace
casi seis años, procedí yo a esta demostración pero utilizando únicamente la
multiplicación de los primeros p
números primos y sumándole 1. Obviamente, la lógica es exactamente la misma a
la utilizada líneas arriba, pero aprovecho la reiteración para placear a n! +1.
Pues bien, el amigo aquel del que tanto
les he presumido que es muy ducho para las matemáticas, a grado tal que se
enriqueció con ellas aplicando sus estudios doctorales en probabilidad y estadística
en Warwick, Inglaterra, especulando en los mercados financieros
internacionales, me confesó lo siguiente a raíz de dicho artículo: “La teoría
de los números me parecía casi impenetrable cuando la estudiamos en la
facultad. Recuerdo que una demostración
de que no existía el último primo p
simplemente consideraba en mostrar el numero p! + 1; hasta que leí tu articulo me di cuenta que obviamente p! + 1 no es divisible ni por 2, ni por
3, ni por 4..., ni por p. Pues claro, el residuo es 1 para todos
ellos. ¡Qué pendejo! A veces uno dice: yo no entiendo estas cosas
y cierra los ojos... Hasta que alguien
nos los abre, gracias.”
Espero abrírselos a ustedes también,
queridos lectores, aunque seguramente no se tengan en el mismo concepto que mi
amigo.
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